Cabri et tirage aléatoire (2)

Partie 2 : Méthode de Monte Carlo

Une grande série de tirages aléatoires permet de résoudre des problèmes mathématiques ou physiques même s’ils sont "déterministes" comme l’évaluation de la valeur de pi par exemple.
On va étudier ici une situation physique à interprétation statistique.

Les interférences à photons uniques :

On considère le cas des interférences à deux ondes monochromatiques qui conduit à observer sur un écran une intensité lumineuse non uniforme :
I(x) = Imax (1 + cos(2*pi*x/i)) / 2
où Imax est l’intensité maximum observée et i est l’interfrange, c’est-à-dire la distance entre deux franges lumineuses successives.
On peut aussi interpréter ce phénomène en exprimant que chaque photon (ou "grain" de lumière) émis par la source lumineuse a une densité de probabilité I(x) / Imax de se trouver à la coordonnée x (densité uniforme pour la coordonnée y ).
On se retrouve donc dans le cas d’un remplissage aléatoire d’une surface (l’écran) mais par des points de densité non uniforme.

La Méthode de Monte Carlo :

On va réaliser ce remplissage progressivement en répétant un grand nombre de fois un ensemble de trois tirages aléatoires, les deux premiers pour déterminer les coordonnées x et y d’un point P sur l’écran, le troisième assurant la distribution statistique décrite ci-dessus.
En pratique, le point P ne sera effectivement retenu que si I(x) / Imax est supérieur à un nombre aléatoire compris entre 0 et 1 (et à distribution continue).
En particulier, les photons arrivant sur la frange brillante telle que I(x) / Imax = 1 seront toujours retenus alors que ceux arrivant sur une frange sombre telle que I(x) / Imax = 0 seront systématiquement éliminés.
Entre les deux, la proportion de photons retenus augmentera lorsque l’intensité lumineuse sera plus grande. 

Réalisation de la figure d’interférence :

Comme dans la partie 1, on considère un domaine rectangulaire de côtés a et b et on veut obtenir un point P de ce domaine à coordonnées aléatoires x et y qui seront recalculées à chaque modification du paramètre alea selon :
x = rand(0*alea, a) et y = rand(0*alea, b).
Ensuite, on évalue l’intensité relative correspondante Ir(x) = ( 1 + cos(2*pi*N*x/a)) / 2
où N est le nombre de franges observables dans la figure, l’interfrange valant i = a / N .
Puis, on recherche le critère de validité du point P selon le booléen :
b = max( 0, sign(Ir(x) - rand(0*alea,1) , le point sera retenu si b est égal à 1 , rejeté si b est nul.
Pour cela, on commence à placer le point de coordonnées x et y puis le point P qui est son homothétique à partir d’un centre quelconque et de rapport h = 1 / b . Ce point n’existera en x et y que s’il a été effectivement retenu ( b ou h égaux à 1 )...
L’utilisation de l’outil "Trace" appliqué à P et une variation continue du paramètre alea vont conduire à un remplissage progressif du rectangle qui va dévoiler progressivement la figure d’interférences.

Rappel : pour effacer les traces, faire un double clic avec CabriJava ou Ctrl-F avec les versions classiques de Cabri.

Conclusion : la Physique illustrée par Cabri, c’est formidable !